发现式课标拖垮北美数学教育

加拿大中小学数学教育的衰退

        近年来,加拿大数学教育的衰退引起了广泛的讨论。十余年前从美国引入的小学‘发现式数学’受到质疑和批评。

        加拿大西部大学几位数学教授,曼尼托巴大学罗伯特•科瑞根,温尼伯格大学安娜•斯托克和里贾纳大学弗曼多•兹可曼,于2011年建立了网络机构 “强化加西数学教育倡议”,呼吁提高数学教师专业资格要求,改变数学课程标准;并要求数学家和科技界人士参与数学课程标准的制定。[1]

西蒙菲沙大学高级讲师茂格扎塔•杜比尔2012年5月发表“卑诗省数学教育”一文,指出西部省份数学课程标准的写作结构与方式不妥,存在许多谬误;误导了数学教育。[2]

        2012年末,加拿大博雅教育学会几位会员,在温哥华太阳报的采访中指出,“加拿大的数学与科学教育比较弱,而且正在变得越来越弱,……, 我们面临一场危机。”[3]

        时隔一年,2013年12月,国际经合组织公布了2012年国际学生评估(PISA)的结果。上海拔得数学、科学和阅读全部三项的头筹,数学总成绩为613分,高出第二名新加坡40分之多。而加拿大只得到518分,在过去的九年中下降了14分;从而跌出前十名。美国得分481,甚至低于国际经合组织国家的平均值494。[4]

        这以后,曼尼托巴、阿尔伯塔和卑诗省均有学生家长分别向本省教育厅请愿,要求恢复数学基础知识和技能的教学。[5]

        直到2015年5月,安娜•斯托克教授在加拿大著名智库霍尔研究院发表研究报告:“如何应对加拿大日益下降的数学成绩",产生了轰动效应;公众方才了解并关注加拿大的数学教育危机。[6]

        不但国际学生评估结果,其他一些测试,如泛加拿大评估项目(PCAP),也揭示了加拿大数学教育的危机。作为证明,斯托克教授举了一个例子:1/3 -1/4 = ?这道选择题有四个答案,仅凭猜测也应有25%的学生答对。然而加拿大的安省、阿省和魁省仅28-33%的学生选择了正确答案;说明绝大多数学生都不会做。相比之下,东亚的韩国、新加坡和台湾的正确率为82-86%。

        还不可怕麽?试想这些连基本分数运算都不会的青少年,以后如何学习中等数学和科学?又如何进入大学和职场?即使日常生活中如购物、储蓄等事项对他们都会构成挑战!

        发现式课程标准是美国在上世纪六十年代的“新数学运动”中制定的;加拿大小学引进该标准亦有十年。发现式数学,顾名思义,倡导学生主动探索数学知识。这一出发点有道理。鼓励独立探索和创新,向来是西方教育的优势。国内一些教育家提倡‘尝试教学法’,也是为了摒除灌输式的弊端。然而,北美的‘发现式数学’,将传统课程标准推倒重来,结果南辕北辙。

        宣称能够‘培养学生探索知识、解决问题能力’,结果却连最基本的知识都未能教给学生;发现式数学究竟出了什麽问题?怎么会使北美数学严重衰退?

传统数学课程标准

        原中国数学教师,在美国获得学位的马立平博士对美国的小学数学教育进行了深入的研究;对美国数学教师队伍之不合格,及小学数学课程标准结构与内容之不合理作出了令人信服的批评;在美国产生了极大的影响。

        在其2013年3月发表的“美国小学数学结构之批评”一文中,马立平博士用下图比较了传统数学(左)和发现式数学(右)在内容和结构上的差异:[7]

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传统小学数学的特点,是以大圆柱代表的算术作为核心科目,在适当的位置加入小圆柱所代表的度量衡,初等几何及概率统计入门。

为什麽小学数学应当以算术为核心呢?一个人的学习过程与人类知识体系的形成过程存在对应关系。人类历史上,算术是最早形成的学科;相应的,儿童学习数学,也宜从算术开始。算术的下列性质应当得到认识和肯定:

  • 算术的内容:自然数,整数,分数及小数;度量;加减乘除四则运算;百分数,比例,比率等等;是一个人生活和工作中必不可少的基础知识技能。
  • 上述知识与技能也是学习代数等其他数学分支和物理、化学及生物等学科的前提。没有对算术以及初等几何的掌握,不可能学习代数、三角等其它学科。
  • 在各数学分支中,算术(以及初等几何)最为简单易懂,也最贴近日常生活;从而适合小学生的智力发展水平,能够刺激其好奇心与求知欲。
  • 算术中包含丰富的逻辑推理,对于培养学生的分析与创造思维能力极其有益;对其智力发育起着不可替代的作用。

然而,很多人看不到这些。在他们眼里,算术不过一组计算技能而已,没什麽深刻的概念或分析思维。由于这样一种错误观念,算术被当成了丑小鸭;传统数学于上世纪六十年代起被发现式数学所取代。

考查算术所包含的逻辑思维,我们来看一看下面的例子:

两个修路队一起修筑一条2100米的路段,分别从两端开始。已知甲队每天

修80米,乙队60米;需要多少天可以完成这条路段?

        解题步骤如下:

                       理解题意:分析已知条件,和寻求的结果

                               推理:a. 两队每天合计修80m+60m=140m

b. 用总长度除以每天修的长度,即可得所需要的天数

                       列式计算:  2100m ÷ (80m + 60m) = 2100m ÷ 140m = 15 (天)

                               检验: 甲队修 80 x 15 = 1200米; 乙队修 60 x 15 = 900米; 两队共修2100米;

符合题目所给的条件,说明答案正确。

 

        上述几个步骤一起,使学生得以切实理解算术中的四则运算,及其实际应用。这不正是逻辑推理和分析思维麽?

为什麽中国和东亚学生在国际学生评估中能够拿高分,在国际奥林匹克数学竞赛中名列前茅?因为他们从孩提时代起在逻辑推理和分析思维方面就受到了训练。小学数学里,四则运算的综合运用占了相当比重,各式各样的应用题很多,有些具有相当难度。因此,学生不仅掌握了运算技能,而且对问题获得了切实的理解。他们了解什麽情况下应用、怎么应用每一种运算。

发现式数学的内容与结构

        发现式数学中,算术被压缩成一个部分;中学数学的一些内容,诸如变量、方程、函数、数列等等,进入小学。人们希望孩子们在低年级就能学到比较高深的数学知识。

由于缺少一个核心,发现式数学呈现出‘支股’(strand)结构,或称‘条目并列’结构——若干彼此间没有内在逻辑联系的数学内容并列在一起,如图1所示。

加拿大各省和美国各州课标中的支股或条目往往不同,连名称都不一样。加拿大西部几省的条目(organizer),包括数的概念(算术),模式与关系(代数),形状与空间(几何),以及概率统计等四项。每一条目下辖若干次级条目。支股也好,条目也好,从一年级引进,不论有无必要,课标中年年出现,直到小学毕业。[8] 传统小学数学自成一个完整有机的体系;而发现式数学基本上是一个若干数学分支的混合。

不仅如此,支股或条目的内容可以随意变更或增删,使传统小学数学的稳定结构被一个脆弱的不稳定结构所取代;给课程标准的制定者提供了很大的空间与自由度,以进行所谓的‘创新’,从而设计出了诸多不同版本的‘发现式数学’。

我们来仔细研究一下发现式数学中的某些支股或条目:

        模式(Patterns):

所谓‘模式’,其实是数列,多为等差数列;如2,5,8,11,……;要求学生确定其中的规律,写出后续若干项。有的高年级题目要求学生写出定义该数列的公式。以下面这道五年级题目为例:[9]

以下哪一表达式描述了模式108, 96, 84, 72……?

                                                     a. 108-n     b. n-12      c. n+12      d. 108+n

令人讶异的是,题中所给的四个答案竟没有一个是对的,着实贻笑大方。正确答案为:120-12n, 其中 n=1, 2, 3 ……。对教师和教材编写者都有难度的题目,为什麽要十来岁的孩子们做呢?

不可否认,辨识模式或规律的题目提供一种归纳思维的训练,适当的练习一些是有益的。问题在于难度的掌握和所占的比重。有些题目过于复杂,不但多数年幼的孩子无法招架,连教师和家长也被搞得一头雾水。再者,取消更为重要的算术内容,来年年重复这样的训练,实在得不偿失。

        变量与方程(Variables and Equations):

我们再来考虑一下前面修路的题目。这道题也可以用代数方法来解:

设x为修路所需的天数,列方程:

 80x + 60 x = 2100

解方程:     (80+60) x = 2100

                                           x = 2100 ÷ (80 + 60)

                x = 15

显见易见,解方程的过程和算术方法一模一样。然而运用代数方法,孩子们必须预先掌握许多抽象复杂、超出他们理解能力的知识技能——用字母代表数字,根据题意列方程,以及解方程的各项规则,等等。相反,算术方法建立在逻辑之上,只需切实理解四则运算即可解题。

代数提供一种程式化的解题方法。只需遵循一系列的步骤或程序,不必作艰难的思考,就能解决问题。代数是在科学与技术发展的过程中形成的,用于解决比较复杂,不易理清头绪的问题。日常生活问题大都可以用算术方法求解,代数方法冗长繁琐,一般没有必要。

再者,列方程过程中的思维方法与算术方法互逆;在学生尚未掌握算术思维的情况下引入代数,搅乱了他们的思维。故代数的学习应当在算术之后;过早引进代数,揠苗助长,结果适得其反。

        算术(arithmetic

从内容列表可以看出,算术包含大量对学生将来的生活与工作必不可少的概念、定义、规则和技能。过去,为了能够切实掌握算术知识与技能,学生用六年时间来学习和练习。现在的学生怎么可能仅用原来若干分之一的时间,就学会同样多的知识技能呢?

由于算术被其它数学分支挤压、弱化,数学教育不可避免地衰落,甚至坍塌了!

        发现式数学传授方法

发现式数学倡导并使用一些与传统数学全然不同的传授方法。来看一看最常用的几种。

        图示法:

图示法的一项典型应用为‘数位’概念的解释。当引入个、十、百、千等数位时,用不同维数的条条、块块等图象可以使概念直观,如下图代表数字1365,图示法确有帮助。

千位

百位 十位

个位

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然而,下图代表什麽小数,就不易看出了。图像本身都不直观,可有助于建立小数数位概念?

个位

. 十分位 百分位 千分位
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事实上,学到小数的时候,学生已经掌握了数位的概念,具有一定的抽象思维能力。继续使用这种图示法纯属画蛇添足,增加学生负担,更是一种倒退。

                再看一道三年级的例题:[9]

用右侧图计算7+5=?

要求三年级学生数圆圈做一位数加法,和掰手指有什麽两样?题目本身对学生已无必要,

数圆圈更是幼儿园水平。

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图示法的目的在于帮助引进抽象概念。图示并非目标,对抽象概念的把握和抽象思维才是数学学习的目标。停留在这类低级幼稚的图示方法只会妨碍学生思维能力的进步。

        多种解题方法的滥用:

发现式数学十分强调多种方法解题。以四则运算为例,人们发明了许多不同的方法或规则,如下列题目所示:[9]

  1. 下面哪个“加倍再加一“的规则,可以用来计算6 + 7 = ?
  2. 6+6+1=13         b.   7+7+1=15
  3. 用从左至右的加法,计算1259 + 6733:
  4. 怎样用重组方法计算82 ÷ 5?
  5. 70+12      b.  69+13        c.   81 –1       d.  68+14
  6. 用下面的10 x 10 数表计算48 + 30和81 – 50:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99

100

以上各题很容易,第一题心算即可;第二题用竖式加法;第三题长除法或者心算;第四题心算。未知题目中所要求的几种新方法有何优越性?最后一题本是简单的两位数加减;按照题目要求的方法来做,需要分别在数表中数30个小格,或者50个小格!这样一些原始的、繁琐笨拙的方法,居然堂而皇之地写进了教科书;令人无语。

能够用多种方法解题本是好事,值得提倡。但需要进行比较,找出最佳方法。就四则运算而言,竖式运算和长除法乃前人反复钻研的结果,已为学界所公认。学生必须集中精力于这样的标准方法,反复练习,以掌握运算技能。发现式数学用一些莫名其妙的方法挤掉了标准方法,结果学生什麽也学不到。

估算及答案不确定的题目

        发现式数学中,估算占了较大比重;例如估计9245×5的大致结果。尽管估算有它的用途,尤其在检验答案时;但学习各种估算方法所花费的时间和精力远远超过了从中得到的收益。毕竟,求得准确结果更为重要,需要更多练习;估算只是辅助性的;占据过大的篇幅属本末倒置。

发现式数学中还有一些没有确定答案的题目,例如,“我的题目的答案为58,题目是什麽?”之类,莫名其妙,给学生带来很大困扰。

        解应用题

发现式数学名义上强调解应用题,实际恰恰相反。

首先,发现式数学将应用题设为一个单独的支股或条目,也就是说将数值计算和其应用分割开来;这毫无道理。“解应用题”不是一个数学分支或论题;既然小学数学的各部分均与实际生活密切相关,“解应用题”应包含在所有支股、条目或论题之中。发现式数学的教科书中,由于解应用题设为一个独立的条目,其它支股或条目大多只涉及单纯的数值计算;因而抽象空洞,看不到概念定理产生的背景与情境,以及它们的实际应用。这样的教材编排,学生如何能够真切深刻地理解数学内涵?抽象空洞的东西又怎能激发学生的好奇心与求知欲呢?

引进概念、定理和规则等,应从实际问题入手;经过讨论和练习,待学生初步掌握之后,再应用到实际问题之中。从具体到抽象,又从抽象到具体这样一往一返的过程,是人们认识事物的规律;也是教学中应当遵循的正确途径。

理论、计算与实际应用在现行数学标准与教材中的割裂状态应当改变,两者必须结合起来。小学数学中的理论和计算技能,如果学生不懂得如何应用于实际问题,则无价值可言。

结 论

        过去的半个多世纪,在‘创新’的名义下,小学数学标准被当作一项产品设计,任意改动,修饰。如今的小学数学充斥着不当的内容和方法,甚至许多错误;疮痍处处,面目全非。这是美加数学衰败的首要原因。自从小学引进了发现式数学,不但小学数学一落千丈,中学乃至大学的数学以及科学也受到影响。由于国民数学和科学基础太差,美国有很多工作岗位找不到合适的员工。更有人指出,美国前些年的房贷危机是由于上至总统,下至普通民众数学能力的极大欠缺所造成的,不无道理。
如前所述,小学数学教授的,并非高深的数学分支或数学前沿,而是千百年前建立的古老的数学分支,是数学与科学大厦的基石。故其内容与方法的稳定是理所当然的。某些增删或改进或许必要;但数学教育衰败的现实说明,大幅度的变动甚至推倒重来肯定出乱子,不可避免地拖垮了数学教育。
小学数学课程标准对于数学教育至关重要,制定标准必须非常谨慎。课标的制定绝非产品设计,可以为所欲为;而是严肃的科学研究,去寻求和确定建构学生知识大厦的正确途径。由于课标不当,几代美国人已经在数学上遭遇了滑铁卢;在加拿大,“数学恐惧症”也在大幅蔓延。希望数以百万计的孩子不再被当作试验品,重蹈覆辙。

参考文献:
1. http://wisemath.org
2. “PIMS and Mathematics Education in British Columbia”, report of Pacific Institute of Mathematical Sciences, by Malgorzata Dubiel , Simon Fraser University
3. ‘B.C.’s math, science curriculum taken to task—Chinese-educated tutors seek changes, saying students aren’t prepared for the modern world’, by Janet Steffenhagen, Vancouver Sun, Dec. 27, 2012
4. “PISA 2012 Results in Focus— What 15-year-olds know and what they can do with what they know”, OECD, 2014 5. ‘Mastering the basics of Mathematics in BC Schools’, Petition by Tara Houle, Dec 19, 2013
6. “What to do about Canada’s Declining Math Scores?”, Commentary No. 427, C.D. Howe Institute, May 2015, by Anna Stokke, Department of Mathematics and Statistics, University of Winnipeg
7. “A Critique of the Structure of U.S. Elementary School Mathematics”, Notices of the American Mathematics Society, by Liping Ma, March 19, 2013

8. “Mathematics K to 7 (2007) ”, www.bced.gov.bc.ca
9. “Math Focus”, grade 3,4,5; Published by Nelson Education, WNCP authorized resource
10. “New analysis of U.S. elementary school mathematics finds half century problematic ‘strands’ structure”, Notice of American Mathematics Society, Oct. 11, 2013
11. “Q. & A. with Liping Ma”, by VIKAS BAJAJ, New York Times, DEC. 18, 2013
12. “卑诗教育警钟再响”, 沈乾若,http://blog.creaders.net/uindex.php, November 1, 2014
13. “挽救加拿大数学教育危机” , 沈乾若, http://blog.creaders.net/uindex.php, May 31, 2015

2016年1月

作者:

加拿大博雅教育学会长 沈乾若 博士
北京大学物理系毕业,航空天工硕士
加拿西蒙菲沙数博中国大陆和加拿数十年、学教及办经验。
sharonqshen@gmail.com
鸣谢:
本文写作过程中, 得到钱慰曾博士、杰瑞 • 穆西欧博士 、楼坚源等的支持与协助,特此致谢。

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